در دهه 1930، آلن تورینگ، یکی از مشهورترین ریاضیدانان تاریخ، ایده ساخت ماشینی محاسباتی را در ذهن داشت. این ماشین توانایی حل مسائل محاسباتی پیچیده را داشت ولی به دلایلی هرگز ساخته نشد. مفهوم محاسبات یک مفهوم شهودی است که بسیاری از ما با آن آشنا هستیم. به عنوان مثال، در نظر بگیرید تابعی به شکل f(x) = x + 3. در این تابع، وقتی مقدار x برابر با 3 است (f(3) = 3 + 3)، جواب تابع 6 خواهد بود.
آشکار است که تابع مذکور قابل محاسبه است. اما برخی توابع به این سادگی قابل محاسبه نیستند و تشخیص دادن اینکه آیا آن‌ها قابل محاسبه هستند یا خیر، به سادگی امکانپذیر نیست. به عبارتی دیگر، ممکن است هیچ پاسخ نهایی برای ما ارائه نشود.
در سال 1928، دیوید هیلبرت و ویلهلم آکرمان، دو ریاضیدان آلمانی، مسئله‌ای به نام “مسئله تصمیم‌گیری” را مطرح کردند. این مسئله در طول زمان به تعریف رسمی محاسبه‌پذیری متناهی تبدیل شد و این به ریاضیدانان اجازه داد که به انواع مسائل جدید پاسخ دهند و اساس علوم نظری کامپیوتر را ایجاد کنند.
آلن تورینگ، یک دانشجوی 23 ساله در سال 1936، با ارائه یک مقاله بنیادین، نه تنها مفهوم محاسبات را رسمیت بخشید، بلکه پرسش اساسی را در ریاضیات اثبات کرد و پایه‌ی فکری برای اختراع کامپیوتر الکترونیکی را فراهم کرد.
هدف تورینگ در واقع این بود که به صورت یک ماشین انتزاعی، پاسخی قطعی به مسئله‌های محاسباتی ارائه دهد. این ماشین بعدها توسط استاد دکترای او، آلونزو چرچ، به نام “ماشین تورینگ” شناخته شد.
ماشین تورینگ یک مفهوم انتزاعی است، به این معنی که در حقیقت آن راه‌حل قابل لمسی و مادی ندارد و نمی‌توان آن را در دنیای فیزیکی واقعی پیاده‌سازی کرد. در واقع، ماشین تورینگ یک مدل مفهومی از محاسبات است. اگر ماشین تورینگ قادر باشد یک تابع را محاسبه کند، به این معنی است که آن تابع قابل محاسبه یا محاسبه‌پذیر است. در ادامه، عملکرد ماشین تورینگ شرح داده می‌شود.
ماشین تورینگ قادر است با استفاده از یک جدول قوانین، نمادهای موجود بر روی نواری بی‌نهایت طولانی را خوانده و تغییر دهد. نوار از خانه‌هایی تشکیل شده است که هر کدام قادر به ذخیره‌سازی یک نماد هستند و ماشین محتوای هر خانه را با استفاده از سر نوار می‌خواند و بازنویسی می‌کند.
هر قانون در جدول، براساس وضعیت فعلی و نمادی که ماشین آن را خوانده است، تعیین می‌کند که ماشین چه کاری انجام دهد. ماشین تورینگ می‌تواند وارد حالت نهایی شود که پس از آن متوقف می‌شود و ورودی را پذیرش یا رد کند، یا در حلقه بی‌نهایت گیر کند و همیشه به خواندن نوار ادامه دهد.
ماشین تورینگ، به عنوان یک مدل مفهومی برای محاسبات، قابلیت پاسخگویی به تمام مسائل قابل محاسبه را دارد. در واقع، اگر یک مسئله قابل حل باشد، ماشین تورینگ قادر است پاسخ آن را به صورت الگوریتمی ارائه دهد.
تأثیر ماشین تورینگ بر روی علوم کامپیوتر و ریاضیات به شدت قابل توجه است. این مدل مفهومی اساسی برای تعریف مفاهیمی همچون قابلیت محاسبه، محاسبه‌پذیری، قابل حل بودن مسئله، پیچیدگی محاسباتی و بسیاری از مفاهیم دیگر در زمینه‌ی علوم کامپیوتر و مطالعات مرتبط شکل‌دهنده است.
به طور خلاصه، ماشین تورینگ، ایده‌ای نابغه‌آمیز از ذهن آلن تورینگ بود که به عنوان مدل مفهومی محاسبه، اساس علوم نظری کامپیوتر و ریاضیات را تشکیل داد. این اختراع فراتر از دستاوردهای ریاضی بوده و تأثیر عمده‌ای در توسعه‌ی صنعت کامپیوتر و فناوری اطلاعات داشته است.
درک ماشین تورینگ
بهترین راه برای فهمیدن ماشین تورینگ، استفاده از یک مثال ساده است. تصور کنید یک ماشین طراحی شده است تا به ما بگوید آیا یک عدد ورودی خاص صفر است یا نه.
برای نشان دادن این موضوع، از عدد ورودی “۰۰۰۱” به همراه نماد “#” استفاده می‌کنیم (“#۰۰۰۱#”)، به این ترتیب “#۰۰۰۱#” بخش مورد نظر روی نوار ما قرار دارد.
ماشین در حالت اولیه قرار دارد که آن را “q0” می‌نامیم. ماشین از سمت چپ نوار شروع می‌کند و به نماد “#” می‌رسد (که داخل آن اعداد قرار دارند). قوانین به ما می‌گویند که وقتی در حالت “q0” هستیم و نماد “#” را می‌بینیم، هیچ کاری به آن نداشته باشیم، یک سلول به سمت راست حرکت کنیم و حالت ماشین را به “q1” تغییر دهیم. بعد از این مرحله، ماشین در حالت “q1” قرار دارد و هد آن در حال خواندن نماد دوم، یعنی “۰” است.
حال به دنبال یک قاعده می‌گردیم که در این شرایط اعمال شود و قاعده‌ای را پیدا می‌کنیم که می‌گوید: در حالت “q1” بمان و هد را به سمت راست ببر. این عمل باعث می‌شود که در همان موقعیت بمانیم (در حالت “q1″، خواندن “۰”).
بنابراین، ما ادامه می‌دهیم و به سمت راست حرکت می‌کنیم تا زمانی که هد در نهایت عدد متفاوتی، یعنی “۱” را بخواند. وقتی دوباره جدول را بررسی می‌کنیم، قانون جدیدی را پیدا می‌کنیم: اگر با “۱” روبهرو شدیم، به حالت “q2” برو و ماشین را متوقف کن. در این حالت، ماشین پاسخ “نه” به سوال اولیه “آیا ۰۰۰۱ صفر است” را می‌دهد.
اما اگر ورودی “#۰۰۰۰#” باشد، ماشین پس از خواندن تمام صفرها به “#۰۰۰۰#” می‌رسد. زمانی که جدول را بررسی می‌کنیم، یک قاعده را پیدا می‌کنیم که می‌گوید ماشین وارد حالت “q3″، یعنی حالت پذیرش، می‌شود. حالا ماشین به سوال “آیا ۰۰۰۰ صفر است” پاسخ “بله” می‌دهد.
با استفاده از این مثال ساده، می‌توانیم فرایند کار ماشین تورینگ را بهتر درک کنیم. ماشین با استفاده از حالت‌ها و قوانین مشخصی، ورودی را خوانده و بر اساس آن پاسخ می‌دهد. این روش برای فهمیدن عملکرد ماشین تورینگ در موارد دیگر نیز قابل استفاده است.
ماشین تورینگ با ایجاد ماشین انتزاعی خود، یک مدل از محاسبات را برای حل مسئله تصمیم‌گیری ایجاد کرد. این مسئله مطرح می‌کند که با استفاده از اصول ریاضی، آیا می‌توان یک فرایند مکانیکی (الگوریتم) وجود داشته باشد که همواره درستی یک گزاره خاص را تعیین کند.
برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم الگوریتمی پیدا کنیم که بتواند بررسی کند آیا یک حالت خاص در شطرنج امکانپذیر است یا خیر. در اینجا، قواعد شطرنج بر حرکات مجاز تأثیرگذار هستند. آیا می‌توانیم با دنبال کردن یک توالی محدود از حرکات، به موقعیت مورد نظر برسیم؟
اگرچه تجزیه و تحلیل برخی از موقعیت‌ها زمان بیشتری از عمر ما می‌برد (زیرا الگوریتم ممکن است همه موقعیت‌های ممکن را بسازد و آن‌ها را با ورودی مقایسه کند)، در بازی شطرنج چنین الگوریتمی وجود دارد. بنابراین، می‌توان گفت شطرنج “تصمیم‌پذیر” است.
اما در سال ۱۹۳۶، چرچ و تورینگ مستقل از یکدیگر (با استفاده از روش‌های متفاوت) ثابت کردند که راه‌حل کلی برای حل تمام نمونه‌های ممکن مسئله تصمیم‌گیری وجود ندارد. به عبارت دیگر، نمی‌توان الگوریتمی را پیدا کرد که بتواند به صورت یکنواخت تمام حالت‌های ممکن را در مسئله تصمیم‌گیری بررسی کند. به عنوان مثال، بر خیلی از بازی‌ها و مسائل، از جمله بازی زندگی که توسط جان هورتون کانوی طراحی شده است، به عنوان نمونه‌هایی از مسائلی که تصمیم‌پذیر نیستند، شناخته می‌شوند. در این مسائل، هیچ الگوریتمی قادر نیست تشخیص دهد که آیا یک الگوی خاص از الگوهای اولیه ظاهر خواهد شد یا خیر.
در واقع، برخی مسائل تصمیم‌پذیری دارای پیچیدگی‌های غیرقابل تحملی هستند که باعث می‌شود هیچ الگوریتمی نتواند به طور کلی و قطعی به آن‌ها پاسخ دهد. این معنا را دارد که وجود یک الگوریتم کلی و یکنواخت برای تصمیم‌گیری در مورد تمام حالت‌های مسئله غیرممکن است.
این نتیجه مهم که توسط چرچ و تورینگ به دست آمد، تأثیر بسیاری بر روی حوزه‌هایی مانند علوم کامپیوتر و منطق ریاضی داشته است. به طور کلی، این نتیجه به ما می‌گوید که در برخی موارد، محدودیت‌ها و پیچیدگی‌هایی وجود دارند که الگوریتم‌ها نمی‌توانند آن‌ها را به طور کامل شکست دهند و پاسخ قطعی را ارائه کنند.
درست است که تورینگ نشان داد که تابع قابل محاسبه است اگر و تنها اگر یک الگوریتم وجود داشته باشد که بتواند آن را اجرا کند. الگوریتم، فرایندی است که توسط ماشین تورینگ تعریف می‌شود و برای انجام یک وظیفه خاص استفاده می‌شود. از این رو، تابع قابل محاسبه تابعی است که برای محاسبه آن ماشین تورینگی وجود داشته باشد.
این تعریف ممکن است به نظر برسد که یک تعریف پیچیده است، اما بهترین تعریفی است که در دسترس داریم. به عبارت دیگر، تز چرچ-تورینگ تعریفی است که تطابق غیررسمی مفهوم الگوریتم با آنچه که هر مدل محاسباتی معقول قادر است انجام دهد را بیان می‌کند.
مایکل سیپسر، دانشمند علوم نظری کامپیوتر از موسسه فناوری ماساچوست، این موضوع را تأیید می‌کند و می‌گوید: “راه دیگری برای تعریف آن ندارید. فکر می‌کنم عموماً پذیرفته شده است که تز چرچ-تورینگ می‌گوید مفهوم غیررسمی الگوریتم با آنچه هر مدل محاسباتی معقول بتواند انجام دهد، مطابقت دارد.”
به طور خلاصه، تز چرچ-تورینگ تعریف استاندارد و پذیرفته شده‌ای است که مفهوم الگوریتم را با قابلیت‌های ماشین تورینگ و سایر مدل‌های محاسباتی مطابقت می‌دهد.
درست است که ریاضیدانان دیگر مدل‌های محاسباتی مختلفی را ارائه کرده‌اند که به ظاهر متفاوت به نظر می‌رسند، اما در واقع معادل مدل ماشین تورینگ هستند. این مدل‌ها قادرند همه محاسباتی را انجام دهند که ماشین‌های تورینگ قادر به انجام آن‌ها هستند و بالعکس.
بعد از گودل کورت، چرچ و تورینگ به سرعت نشان دادند که برخی از مسائل در ریاضیات غیرقابل تصمیم‌گیری هستند، به این معنی که هیچ الگوریتمی، حتی با پیچیدگی بالا، نمی‌تواند به ما بگوید که آیا پاسخ آن مثبت است یا منفی. این به معنی عدم وجود روشی قطعی برای حل اینگونه مسائل است.
این نتایج مهم توسط چرچ و تورینگ نشان داده شدند و به وضوح نشان می‌دهند که توانایی ماشین‌های تورینگ در محاسبه قدرتمند است و نمی‌توانند تمام مسائل ریاضی را تصمیم‌پذیر کنند. این دانشمندان با استفاده از ایده‌های اساسی تورینگ، یک مفهوم دقیق و قدرتمند از محاسبات و قابلیت‌های آن را به علم کامپیوتر و ریاضیات عرضه کردند.
بله، درست است. هیلبرت و سایر ریاضیدانان امیدوار بودند که ریاضیات قابلیت پاسخ‌های بی‌عیب و مشخص را داشته باشد و مسائل ریاضی را می‌توان به محاسبات مکانیکی ساده تقلیل داد. اما نتایج چرچ و تورینگ نشان داد که این امید به واقعیت پیوسته نیست و راه‌حل کلی برای مسئله تصمیم‌گیری وجود ندارد.
علاوه بر این، ماشین تورینگ مستقیماً منجر به ساخت کامپیوترهای مدرن شد. با تعریف ماشین تورینگ جهانی، که نوع خاصی از ماشین تورینگ است که قادر به شبیه‌سازی سایر ماشین‌های تورینگ است، ما امکان ایجاد کامپیوترهایی را داریم که قادر به اجرای هر برنامه‌ای هستند.
ماشین تورینگ جهانی قادر است توصیفات ماشین‌های تورینگ دیگر را بخواند، رفتار آن‌ها را شبیه‌سازی کند و خروجی‌های مشابه را تولید کند. این مفهوم شباهت بسیار زیادی با کامپیوترهای امروزی دارد که می‌توانند هر برنامه‌ای را خوانده و اجرا کنند.
درست است. معماری فون نویمان که توسط جان فون نویمان در سال 1945 پیشنهاد شد، اساساً مفهوم ماشین تورینگ جهانی را در معماری واقعی کامپیوترها پیاده کرد. این معماری شامل ساختار و قوانینی است که برای ساخت و عملکرد کامپیوترها استفاده می‌شود.
در این معماری، ماشین تورینگ جهانی توسط مفهومی به نام “برنامه‌ها” در نظر گرفته می‌شود. برنامه‌ها مجموعه‌ای از دستورات و الگوریتم‌ها هستند که توسط کامپیوتر اجرا می‌شوند. برنامه‌ها می‌توانند هر نوع محاسباتی را که در ذهن داریم، شامل محاسبات فیزیکی، شبیه‌سازی‌های فیزیکی و غیره را توصیف کنند و کامپیوترها بر اساس برنامه‌ها می‌توانند این محاسبات را انجام دهند.
در دنیای فیزیک کلاسیک، فرایندهای فیزیکی می‌توانند با استفاده از الگوریتم‌ها و مدل‌سازی شبیه‌سازی شوند. ماشین تورینگ به عنوان یک مدل محاسباتی، قادر است این الگوریتم‌ها را بر روی داده‌های ورودی خود اجرا کند و نتایج شبیه‌سازی را تولید کند. به عبارت دیگر، ماشین تورینگ قادر است فرایندهای فیزیکی را به صورت محاسباتی شبیه‌سازی کند و در نتیجه، ماشین تورینگ جهانی به عنوان یک مدل محاسباتی قادر است توسط کامپیوترهای واقعی شبیه‌سازی شود.
درست است، ماشین تورینگ احتمالی نوعی از ماشین تورینگ است که قابلیت واکنش‌های چندگانه و احتمالی را دارد. در این نوع ماشین تورینگ، به جای داشتن یک واکنش قطعی و مشخص دربرابر هر ورودی، وجود احتمالات می‌تواند باعث تولید نتایج مختلف برای یک ورودی در زمان‌های مختلف شود. این احتمالات می‌توانند بر اساس توزیع‌های احتمالی مشخص شده و یا به صورت غیرقطعی و با توجه به وضعیت فعلی ماشین تورینگ اعمال شوند.
ماشین تورینگ احتمالی در زمینه‌های مختلفی از جمله رمزنگاری، بهینه‌سازی و یادگیری ماشین کارآمد بوده است. این نوع ماشین تورینگ به دلیل توانایی تولید نتایج متنوع و احتمالی، می‌تواند به روش‌های بهینه‌سازی یا یادگیری ماشین کمک کند و به نتایج بهتری دست یابد.
استفاده از ماشین تورینگ احتمالی به ویژه در حوزه یادگیری ماشین، به تحلیل و پردازش مسائل پیچیده و همچنین به تعیین توانایی مدل‌ها در پیش‌بینی و پاسخگویی به ورودی‌های متنوع و غیرقطعی کمک می‌کند. همچنین، این ایده نشان می‌دهد که پرسش سؤال‌های بنیادین و بررسی جوانب اساسی مسائل، می‌تواند یکی از فعالیت‌های مفیدترین دانشمندان باشد و به توسعه دانش و فهم بهتر از دنیای اطرافمان کمک کند.
نظرات کاربران